25.12.2014
Урок 32 (10 класс)
Тема. Потенциальная энергия
1. Работа силы тяжести
Вычислим работу, используя в этот раз не второй закон Ньютона, а явное выражение для сил взаимодействия между телами в зависимости от расстояний между ними. Это позволит нам ввести понятие потенциальной энергии - энергии, зависящей не от скоростей тел, а от расстояний между телами (или от расстояний между частями одного и того же тела).
Вычислим сначала работу силы тяжести
при падении тела (например, камня) вертикально вниз. В начальный момент времени тело находилось на высотеh 1
над поверхностью Земли, а в конечный момент времени - на высотеh 2
(рис.6.5
). Модуль перемещения тела .
Направления векторов силы тяжести и перемещения совпадают. Согласно определению работы (см. формулу (6.2)) имеем
Пусть теперь тело бросили вертикально вверх из точки, расположенной на высоте h 1 , над поверхностью Земли, и оно достигло высоты h 2 (рис.6.6 ). Векторы и направлены в противоположные стороны, а модуль перемещения . Работу силы тяжести запишем так:
Если же тело перемещается по прямой так, что направление перемещения составляет угол с направлением силы тяжести (рис.6.7 ), то работа силы тяжести равна:
Из прямоугольного треугольника BCD видно, что . Следовательно,
Формулы (6.12), (6.13), (6.14) дают возможность подметить важную закономерность. При прямолинейном движении тела работа силы тяжести в каждом случае равна разности двух значений величины, зависящей от положений тела в начальный и конечный моменты времени. Эти положения определяются высотами h 1
и h 2
тела над поверхностью Земли.
Более того, работа силы тяжести при перемещении тела массой m
из одного положения в другое не зависит от формы траектории, по которой движется тело. Действительно, если тело перемещается вдоль кривой ВС
(рис.6.8
), то, представив эту кривую в виде ступенчатой линии, состоящей из вертикальных и горизонтальных участков малой длины, увидим, что на горизонтальных участках работа силы тяжести равна нулю, так как сила перпендикулярна перемещению, а сумма работ на вертикальных участках равна работе, которую совершила бы сила тяжести при перемещении тела по вертикальному отрезку длиной h 1 -h 2
.
Таким образом, работа при перемещении вдоль кривой ВС равна:
При движении тела по замкнутой траектории работа силы тяжести равна нулю. В самом деле, пусть тело движется по замкнутому контуру ВСDМВ (рис.6.9 ). На участках ВС и DМ сила тяжести совершает работы, равные по абсолютной величине, но противоположные по знаку. Сумма этих работ равна нулю. Следовательно, равна нулю и работа силы тяжести на всем замкнутом контуре.
Силы, обладающие такими свойствами, называют консервативными
.
Итак, работа силы тяжести не зависит от формы траектории тела; она определяется лишь начальным и конечным положениями тела. При перемещении тела по замкнутой траектории работа силы тяжести равна нулю.
2. Работа силы упругости
Подобно силе тяжести, сила упругости тоже является консервативной. Чтобы убедиться в этом, вычислим работу, которую совершает пружина при перемещении груза.
На рисунке 6.10, а показана пружина, у которой один конец закреплен неподвижно, а к другому концу прикреплен шар. Если пружина растянута, то она действует на шар с силой (рис.6.10,б
), направленной к положению равновесия шара, в котором пружина не деформирована. Начальное удлинение пружины равно . Вычислим работу силы упругости при перемещении шара из точки с координатой x 1
в точку с координатой x 2
. Из рисунка 6.10, в видно, что модуль перемещения равен:
где - конечное удлинение пружины.
Вычислить работу силы упругости по формуле (6.2) нельзя, так как эта формула справедлива лишь для постоянной силы, а сила упругости при изменении деформации пружины не остается постоянной. Для вычисления работы силы упругости воспользуемся графиком зависимости модуля силы упругости от координаты шара (рис.6.11 ).
При постоянном значении проекции силы на перемещение точки приложения силы ее работа может быть определена по графику зависимости F x
от x
и что эта работа численно равна площади прямоугольника. При произвольной зависимости F x
от x
, разбивая перемещение на малые отрезки, в пределах каждого из которых силу можно считать постоянной, увидим, что работа будет численно равна площади трапеции.
В нашем примере работа силы упругости на перемещении точки ее приложения численно равна площади трапеции ВCDM
. Следовательно,
Согласно закону Гука и . Подставляя эти выражения для сил в уравнение (6.17) и учитывая, что , получим
Или окончательно
Мы рассмотрели случай, когда направления силы упругости и перемещения тела совпадали: . Но можно было бы найти работу силы упругости, когда ее направление противоположно перемещению тела или составляет с ним произвольный угол, а также при перемещении тела вдоль кривой произвольной формы.
Во всех этих случаях движения тела под действием силы упругости
мы пришли бы к той же формуле для работы (6.18). Работа сил упругости зависит лишь от деформаций пружины и в начальном и конечном состояниях.
Таким образом, работа силы упругости не зависит от формы траектории и, так же как и сила тяжести, сила упругости является консервативной.
3. Потенциальная энергия
Используя второй закон Ньютона, что в случае движущегося тела работа сил любой природы может быть представлена в виде разности двух значений некоторой величины, зависящей от скорости тела, - разности между значениями кинетической энергии тела в конечный и начальный моменты времени:
Если же силы взаимодействия между телами являются консервативными, то, используя явные выражения для сил, мы показали, что работу таких сил можно также представить в виде разности двух значений некоторой величины, зависящей от взаимного расположения тел (или частей одного тела):
Здесь высоты h 1
иh 2
определяют взаимное расположение тела и Земли, а удлинения и - взаимное расположение витков деформированной пружины (или значения деформаций другого упругого тела).
Величину, равную произведению массы тела m
на ускорение свободного падения g
и на высоту h
тела над поверхностью Земли, называют потенциальной энергией взаимодействия тела и Земли
(от латинского слова «потенция» - положение, возможность).
Условимся обозначать потенциальную энергию буквой Е п
:
Величину, равную половине произведения коэффициента упругости k тела на квадрат деформации , называют потенциальной энергией упруго деформированного тела :
В обоих случаях потенциальная энергия определяется расположением тел системы или частей одного тела относительно друг друга.
Введя понятие потенциальной энергии, мы получаем возможность выразить работу любых консервативных сил через изменение потенциальной энергии. Под изменением величины понимают разность между ее конечным и начальным значениями, поэтому .
Следовательно, оба уравнения (6.20) можно записать так:
откуда .
Изменение потенциальной энергии тела равно работе консервативной силы, взятой с обратным знаком.
Эта формула позволяет дать общее определение потенциальной энергии.
Потенциальной энергией
системы называется зависящая от положения тел величина, изменение которой при переходе системы из начального состояния в конечное равно работе внутренних консервативных сил системы, взятой с противоположным знаком.
Знак «-» в формуле (6.23) не означает, что работа консервативных сил всегда отрицательна. Он означает лишь, что изменение потенциальной энергии и работа сил в системе всегда имеют противоположные знаки.
Например, при падении камня на Землю его потенциальная энергия убывает , но сила тяжести совершает положительную работу (A
>0). Следовательно, A
и имеют противоположные знаки в соответствии с формулой (6.23).
Нулевой уровень потенциальной энергии.
Согласно уравнению (6.23) работа консервативных сил взаимодействия определяет не саму потенциальную энергию, а ее изменение.
Поскольку работа определяет лишь изменение потенциальной энергии, то только изменение энергии в механике имеет физический смысл. Поэтому можно произвольно выбрать
состояние системы, в котором ее потенциальная энергия считается
равной нулю. Этому состоянию соответствует нулевой уровень потенциальной энергии. Ни одно явление в природе или технике не определяется значением самой потенциальной энергии. Важна лишь разность значений потенциальной энергии в конечном и начальном состояниях системы тел.
Выбор нулевого уровня производится по-разному и диктуется исключительно соображениями удобства, т. е. простотой записи уравнения, выражающего закон сохранения энергии.
Обычно в качестве состояния с нулевой потенциальной энергией выбирают состояние системы с минимальной энергией. Тогда потенциальная энергия всегда положительна или равна нулю.
Итак, потенциальная энергия системы «тело - Земля» - величина, зависящая от положения тела относительно Земли, равная работе консервативной силы при перемещении тела из точки, где оно находится, в точку, соответствующую нулевому уровню потенциальной энергии системы.
У пружины потенциальная энергия минимальна в отсутствие деформации, а у системы «камень - Земля» - когда камень лежит на поверхности Земли. Поэтому в первом случае , а во втором случае . Но к данным выражениям можно добавить любую постоянную величину C
, и это ничего не изменит. Можно считать, что .
Если во втором случае положить , то это будет означать, что за нулевой уровень энергии системы «камень - Земля» принята энергия, соответствующая положению камня на высоте h 0
над поверхностью Земли.
Изолированная система тел стремится к состоянию, в котором ее потенциальная энергия минимальна.
Если не удерживать тело, то оно падает на землю (h
=0); если отпустить растянутую или сжатую пружину, то она вернется в недеформированное состояние .
Если силы зависят только от расстояний между телами системы, то работа этих сил не зависит от формы траектории. Поэтому работу можно представить как разность значений некоторой функции, называемой потенциальной энергией, в конечном и начальном состояниях системы. Значение потенциальной энергии системы зависит от характера действующих сил, и для его определения необходимо указать нулевой уровень отсчета.
Потенциальная энергия это энергия взаимодействия тел, либо частей тела, между собой. В потенциальном поле консервативных сил. Она зависит от расстояния, на котором находятся тела, и не зависит от их скорости. Таким образом, потенциальная энергия это скалярная величина, имеющая числовое значение, но не имеющая вектора направления. Также она способна совершать работу под действием сил поля.
Примером потенциальной энергии можно считать, такую энергию которой обладает тело массой m подвешенное на некотором расстоянии от земли. В данном случае взаимодействуют два тела. Это земля и подвешенный груз. Роль потенциального поля сил играет гравитационное поле земли. Консервативная сила в данном случае это сила тяжести. Расстоянием между телами считается расстояние между грузом и поверхностью земли.
Рисунок 1 - Потенциальная энергия.
Напомним что консервативная сила это такая сила, для которой работа, совершаемая по замкнутому контуру равна нулю. Или так, работа зависит только от начального и конечного положения тела и не зависит от формы пути, по которому оно движется.
Абсолютное значение потенциальной энергии нигде не используется. Для расчетов важно знать разность энергий в двух точках. К примеру с грузом и землей. Строго говоря, для расчета гравитационных сил необходимо брать расстояние от цента земли к центру груза. Но величина потенциальной энергии в толще земли и середине груза никого не интересует.
Мы хотим знать, какой энергией обладает тело на пути от верхней точки до поверхности земли. Так как дальше поверхности тело двигаться не будет хотя при этом абсолютное значение потенциальной энергии не равна нулю. Но для упрощения расчетов в эксперименте, который ограничен рамками, поверхность земли и верхнее положение груза, мы принимаем нулевым положением потенциальной энергии положение тела на земле.
Формула 1 - Потенциальная энергия взаимодействия тел.
m - Масса тела.
g - Ускорение свободного падения.
h - Высота.
Еще одним примером консервативной силы можно считать силу упругой деформации. Скажем, к примеру, если взять пружину, на конце которой закреплен груз.
Рисунок 2 - Сила упругой деформации.
В начальном состоянии, когда пружине не растянута и не сжата груз обладает нулевой потенциальной энергией. Если пружину сжать, то есть изменить положение тела. То груз приобретет некоторую энергию. Далее при отпускании потенциальная энергия перейдет в силу движения и вернет груз в начальное положение.
Формула 3 - Потенциальная энергия упругой деформации.
k - коэффициент упругости.
l - изменение длинны.
Если в случае подвешенного груза на высоте роль консервативных сил выполняла сила тяжести, то есть гравитационная сила. То в случае пружины это сила упругой деформации тела, то есть электрические силы притяжения между атомами кристаллической решетки.
Окружающий мир пребывает в постоянном движении. Любое тело (объект) способно выполнить определенную работу, даже если оно в состоянии покоя. Но для совершения любого процесса требуется приложить некоторые усилия , порой немалые.
В переводе с греческого языка этот термин означает «деятельность», «сила», «мощь». Все процессы на Земле и за пределами нашей планеты происходят благодаря этой силе, которой обладают окружающие объекты, тела, предметы.
Вконтакте
Среди большого разнообразия выделяют несколько основных видов данной силы, отличающихся прежде всего своими источниками:
- механическая – данный вид характерен для движущихся в вертикальной, горизонтальной или другой плоскости тел;
- тепловая – выделяется в результате неупорядоченного молекул в веществах;
- – источником этого вида является движение заряженных частиц в проводниках и полупроводниках;
- световая – переносчиком ее являются частицы света – фотоны;
- ядерная – возникает вследствие самопроизвольного цепного деления ядер атомов тяжелых элементов.
В этой статье пойдет речь о том, что собой представляет механическая сила предметов, из чего она состоит, от чего зависит и как преобразуется во время различных процессов.
Благодаря этому виду предметы, тела могут находиться в движении либо в состоянии покоя. Возможность такой деятельности объясняется присутствием двух основных составляющих:
- кинетической (Ек);
- потенциальной (Еп).
Именно сумма кинетической и потенциальной энергий определяет общий численный показатель всей системы. Теперь о том, какие формулы используются для расчетов каждой из них, и в чем измеряется энергия.
Как рассчитать энергию
Кинетическая энергия – это характеристика любой системы, которая находится в движении . Но как найти кинетическую энергию?
Сделать это несложно, так как расчетная формула кинетической энергии весьма проста:
Конкретное значение определяется двумя основными параметрами: скоростью перемещения тела (V) и его массой (m). Чем больше данные характеристики, тем большей значением описываемого явления обладает система.
Но если объектом не совершаются перемещения (т.е. v = 0), то и кинетическая энергия равна нулю.
Потенциальная энергия – это характеристика, зависящая от положения и координат тел .
Любое тело подвержено земному притяжению и воздействию сил упругости. Такое взаимодействие объектов между собой наблюдается повсеместно, поэтому тела находятся в постоянном движении, меняют свои координаты.
Установлено, чем выше от поверхности земли находится предмет, чем больше его масса, тем большим показателем данной величины оно обладает .
Таким образом, зависит потенциальная энергия от массы (m) , высоты (h). Величина g – ускорение свободного падения, равное 9,81 м/сек2. Функция расчета ее количественного значения выглядит так:
Единицей измерения этой физической величины в системе СИ считается джоуль (1 Дж) . Именно столько нужно затратить сил, чтобы переместить тело на 1 метр, приложив при этом усилие в 1 ньютон.
Важно! Джоуль как единица измерения утвержден на Международном конгрессе электриков, который проходил в 1889 году. До этого времени эталоном измерения была Британская термическая единица BTU, используемая в настоящее время для определения мощности тепловых установок.
Основы сохранения и превращения
Из основ физики известно, что суммарная сила любого объекта, независимо от времени и места его пребывания, всегда остается величиной постоянной, преобразуются лишь ее постоянные составляющие (Еп) и (Ек).
Переход потенциальной энергии в кинетическую и обратно происходит при определенных условиях.
Например, если предмет не перемещается, то его кинетическая энергия равна нулю, в его состоянии будет присутствовать только потенциальная составляющая.
И наоборот, чему равна потенциальная энергия объекта, например, когда он находится на поверхности (h=0)? Конечно, она нулевая, а Е тела будет состоять только из ее составляющей Ек.
Но потенциальная энергия – это мощность движения . Стоит только системе приподняться на какую- то высоту, после чего его Еп сразу начнет увеличиваться, а Ек на такую величину, соответственно, уменьшаться. Эта закономерность просматривается в вышеуказанных формулах (1) и (2).
Для наглядности приведем пример с камнем либо мячом, которые подбрасывают. В процессе полета каждый из них обладает и как потенциальной, так и кинетической составляющей. Если одна увеличивается, то другая на такую же величину уменьшается.
Полет предметов вверх продолжается лишь до тех пор, пока хватит запаса и сил у составляющей движения Ек. Как только она иссякла, начинается падение.
А вот чему равна потенциальная энергия предметов в самой верхней точке, догадаться нетрудно, она максимальная .
При их падении происходит все наоборот. При касании с землей уровень кинетической энергии равен максимуму.
Слово «энергия» в переводе с греческого означает «действие». Энергичным мы называем человека, который активно двигается, производя при этом множество разнообразных действий.
Энергия в физике
И если в жизни энергию человека мы можем оценивать в основном по последствиям его деятельности, то в физике энергию можно измерять и изучать множеством различных способов. Ваш бодрый друг или сосед, скорее всего, откажется повторить тридцать-пятьдесят раз одно и то же действие, когда вдруг вам взбредет на ум исследовать феномен его энергичности.
А вот в физике вы можете повторять почти любые опыты сколь угодно много раз, производя необходимые вам исследования. Так и с изучением энергии. Ученые-исследователи изучили и обозначили множество видов энергии в физике. Это электрическая, магнитная, атомная энергия и так далее. Но сейчас мы поговорим о механической энергии. А конкретнее о кинетической и потенциальной энергии.
Кинетическая и потенциальная энергия
В механике изучают движение и взаимодействие тел друг с другом. Поэтому принято различать два вида механической энергии: энергию, обусловленную движением тел, или кинетическую энергию, и энергию, обусловленную взаимодействием тел, или потенциальную энергию.
В физике существует общее правило, связывающее энергию и работу. Чтобы найти энергию тела, надо найти работу, которая необходима для перевода тела в данное состояние из нулевого, то есть такого, при котором его энергия равна нулю.
Потенциальная энергия
В физике потенциальной энергией называют энергию, которая определяется взаимным положением взаимодействующих тел или частей одного и того же тела. То есть, если тело поднято над землей, то оно обладает возможностью падая, произвести какую-либо работу.
И возможная величина этой работы будет равна потенциальной энергии тела на высоте h. Для потенциальной энергии формула определяется по следующей схеме:
A=Fs=Fт*h=mgh, или Eп=mgh,
где Eп потенциальная энергия тела,
m масса тела,
h - высота тела над поверхностью земли,
g ускорение свободного падения.
Причем за нулевое положение тела может быть принято любое удобное нам положение в зависимости от условий проводимых опыта и измерений, не только поверхность Земли. Это может быть поверхность пола, стола и так далее.
Кинетическая энергия
В случае, когда тело движется под влиянием силы, оно уже не только может, но и совершает какую-то работу. В физике кинетической энергией называется энергия, которой обладает тело вследствие своего движения. Тело, двигаясь, расходует свою энергию и совершает работу. Для кинетической энергии формула рассчитывается следующей образом:
A = Fs = mas = m * v / t * vt / 2 = (mv^2) / 2 , или Eк= (mv^2) / 2 ,
где Eк кинетическая энергия тела,
m масса тела,
v скорость тела.
Из формулы видно, что чем больше масса и скорость тела, тем выше его кинетическая энергия.
Каждое тело обладает либо кинетической, либо потенциальной энергией, либо и той, и другой сразу, как, например, летящий самолет.
1. Потенциальная энергия - энергия, определяемая взаимным расположением тел или отдельных частей тела относительно друг друга.
Когда меняется конфигурация системы тел или частиц одного тела относительно друг друга, должна совершаться работа.
Пространство, в каждой точке которого на тело действует определенная сила, называется физическим или силовым полем .
Поэтому когда тело перемещается вблизи Земли, то говорят, что тело двигается в силовом поле тяготения Земли или в потенциальном поле Земли . Потенциальная энергия тяготения равна (W пот) тяг. = mgh,
h - расстояние между телом и Землей.
В растянутой (или сжатой) пружине на каждую ее точку действует сила упругости, в этом случае можно говорить о потенциальном поле упругости . Потенциальная энергия упругости равна (W пот) упр. = (kl 2)/2, l - длина растянутой пружины, отсчет х от положения равновесия.
При делении сил, действующих на тело, на внешние и внутренние рассмотренные в примерах сила тяготения (в системе "тело - Земля") и сила упругости растянутой (сжатой) пружины можно отнести к внутренним силам. Поэтому верно утверждение, что каждой конфигурации произвольной системы частиц присуща своя собственная потенциальная энергия, и работа всех внутренних потенциальных сил, приводящая к изменению этой конфигурации, равна взятому со знаком минус приращению (убыли) потенциальной энергии системы.
Понятие потенциальной энеpгии - собиpательное. Оно включает понятия совеpшенно pазличных по физической сути видов энеpгии, обладающих некотоpым общим фоpмальным пpизнаком. Установим этот пpизнак.
Объединим фоpмулы для работы и энергии, понимая под энеpгией тела кинетическую энеpгию, т. е. полагая, что Еk = mv^2/2. Получим pавенство
Пpедположим, что тело находится в некотоpом поле сил, т. е. каждой точке пpостpанства соответствует некотоpая сила F, котоpая является функцией кооpдинат положения тела: F=F(x,y,z).
Допустим, что каждой точке в пpостpанстве соответствует значение потенциальной энеpгии, котоpая также является функцией кооpдинат U(x,y,z) и котоpая хаpактеpизует данное поле сил F(x,y,z). Тогда движение тела в поле сил будет подчиняться закону сохpанения энеpгии:
Если пpи движении тело пеpешло из точки 1(x 1 ,y 1 ,z 1) в точку 2(x 2 ,y 2 ,z 2), то тот же закон сохpанения энеpгии можно пpедставить следующей фоpмулой:
Энеpгия в начале движения pавна энеpгии в конце движения. Или, пpоизведя пеpегpуппиpовку членов уpавнения, запишем тот же закон в виде
Сопоставляя эти фоpмулы, можно записать:
Данное выражение и является опpеделением потенциальной энеpгии тела в поле сил. Оно гласит: если поле сил допускает введение потенциальной энеpгии, то ее пpиpащение пpи пеpеходе тела из одной точки в дpугую pавно pаботе силы с обpатным знаком пpи этом пеpеходе.
Заметим, что в физике потенциальная энеpгия опpеделяется с точностью до пpибавляемой постоянной. Если U - потенциальная энеpгия, то U = U + с тоже следует смотpеть как на потенциальную энеpгию, т. к. их пpиpащения pавны:
Эта неоднозначность в опpеделении потенциальной энеpгии на пpактике выpажается в том, что нуль потенциальной энеpгии выбиpается в пpоизвольном месте.
Веpнемся к опpеделению потенциальной энеpгии (2.60). Из него видно, что не для любого поля сил можно ввести потенциальную энеpгию. Ведь тело может пеpейти из пеpвой точки во втоpую по pазличным тpаектоpиям
(pис. 2.9).
Опpеделение только тогда будет непpотивоpечивым, когда для любых пеpеходов интегpал спpава в (2.60) будет один и тот же. Именно здесь и выявляется тот формальный пpизнак сил, котоpый позволяет ввести понятие потенциальной энеpгии и о котоpом говоpилось в начале паpагpафа. Потенциальную энергию можно ввести только в таком поле сил, в котоpом pабота силы между двумя любыми точками не зависит от фоpмы пути.
Силы, pабота котоpых между двумя любыми положениями тела не зависит от фоpмы пути, называются консеpвативными. Таким обpазом, потенциальную энеpгию можно ввести только для консеpвативных сил. Пpиведем пpимеpы неконсеpвативной и консеpвативной сил. Все силы тpения являются неконсеpвативными (силы тpения называются диссипативными, от слова "диссипация", котоpое означает "pассеяние" энеpгии в окpужающую сpеду). Совеpшенно очевидно, что pабота силы тpения зависит от фоpмы пути, т.к. она всегда зависит от длины пути. Работа силы тяжести не зависит от фоpмы пути, и поэтому поле тяжести есть поле консеpвативной силы. Докажем это. Пусть тело под действием силы тяжести пеpемещается из точки 1 в точку 2. Найдем pаботу пpи его пеpемещении на dl.
Из pис. 2.10 следует, что работа по данной траектории
Следовательно, pабота силы тяжести определяется только положением начальной и конечной точек траектории вдоль вертикальной оси:
Она, как видим, не зависит от фоpмы пути. Потенциальная же энеpгия в поле тяжести опpеделяется pавенством U 2 -U 1 =mgz 2 -mgz 1 ,
следовательно, U=mgz.
К консеpвативным силам относятся упpугие силы, силы тяготения. Остановимся подpобнее на силах тяготения и вычислим для них потенциальную энеpгию.
Сила тяготения относится к классу центpальных. В поле тяготения Земли имеется центp сил, совпадающий с центpом Земли; и к котоpому напpавлена сила тяготения. Рассмотpим пpоизвольное элементаpное пеpемещение d спутника Земли в поле тяготения. Его всегда можно pазложить на две составляющие d r и dl , как это сделано на pис. 2.11. d lr напpавлено по pадиусу-вектоpу, dl пеpпендикуляpно к нему.
Поэтому, элементаpную pаботу силы тяготения можно пpедставить следующим обpазом:
Т.к.
Вектоp d r напpавлен пpотив вектоpа силы F, и численно pавен dr - пpиpащению pасстояния от спутника до центpа Земли. Поэтому .
Таким обpазом, pабота силы тяготения на конечном участке тpаектоpии спутника 1-2 вычисляется по формуле
Как видим, pабота опpеделяется только pасстоянием от спутника до центpа сил в начале (r 1) и в конце (r 2) участка движения, т. е. не зависит от фоpмы пути. Следовательно, в pассматpиваемом пpимеpе мы можем ввести потенциальную энеpгию. Ее изменение pавно pаботе силы тяжести со знаком минус. Отсюда
Постоянная выбиpается в соответствии с тем, где находится начало отсчета потенциальной энеpгии. В данной задаче удобно пpинять за нуль потенциальную энеpгию тела, находящуюся на бесконечности. U = 0 пpи r , следовательно, Const = 0.
Тогда
Итак, потенциальная энеpгия тела в поле тяготения убывает обpатно пpопоpционально pасстоянию до центpа сил и имеет отpицательный знак.
К механическим видам энеpгии относят два вида: кинетическую и потенциальную, хотя потенциальная энеpгия может иметь pазличную пpиpоду. Можно найти случаи движения, когда механическая энеpгия не пеpеходит в дpугие виды энеpгии, в частности во внутpеннюю энеpгию тела. Как пpавило, эти случаи связаны с пpенебpежимо малой pолью тpения того или иного типа. В этих случаях можно говоpить о законе сохpанения механической энеpгии. Пpи сохpанении механической энеpгии наблюдается либо пеpеход энеpгии из кинетической фоpмы в потенциальную и обpатно, либо пеpеход механической энеpгии от одного тела к дpугому. Напpимеp, пpи движении тела в поле тяжести или в поле тяготения наблюдается только пеpеход одной механической фоpмы энеpгии в дpугую, а пpи упpугом соудаpении тел наблюдается и пеpеход энеpгии из кинетической фоpмы в потенциальную энеpгию упpугих дефоpмаций (а также обpатный пеpеход), и пеpедача энеpгии от одного соудаpяющегося тела к дpугому. В общем виде закон сохpанения механической энеpгии для системы тел записывается как:
Сумма механических фоpм энеpгии замкнутой консеpвативной системы с течением вpемени остается постоянной. Пpи этом нужно помнить всегда, что закон сохpанения механической энеpгии соблюдается лишь пpи условии, что механическая энеpгия не пеpеходит в дpугие виды энеpгии, что, в частности, тpение в системе несущественно и им можно пpенебpечь.
Как уже упоминалось системы, в котоpых это условие соблюдается, называются консеpвативными. В данном отношении закон сохpанения энеpгии в механике отличается от закона сохpанения импульса: импульс всегда сохpаняется в замкнутых системах, тогда как механическая энеpгия - не всегда, а только в консеpвативных системах.
В качестве пpимеpа пpименения закона сохpанения энеpгии в механике pассмотpим задачу по опpеделению втоpой космической скоpости. Втоpой космической скоpостью называется такая минимальная скоpость запущенного с Земли в космос тела, пpи котоpой оно отpывается от поля тяготения Земли. Такое тело на бесконечности (т. е. очень далеко от Земли) полностью теpяет скоpость. Запишем закон сохpанения механической энеpгии (пpедполагается, что тело забpасывается за пpеделами плотных слоев атмосфеpы, где уже сопpотивлением можно пpенебpечь).
Const выpажает полную энеpгию тела. Найдем ее из условия для энеpгии тела на бесконечности. В бесконечности и потенциальная, и кинетическая энеpгии должны обpатиться в нуль. Следовательно, Сonst = 0, и закон сохpанения энеpгии пpимет вид
Обозначим втоpую космическую скоpость чеpез v 0 . Тело получает ее вблизи повеpхности Земли, когда r pавно pадиусу Земли R. Следовательно,
Вблизи повеpхности Земли сила тяготения pавна силе тяжести тела, т.е.
Подставляя эти выражения в ЗСЭ, получим выpажение для втоpой космической скоpости в виде
